Курс высшей математики Типовой расчет

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

В учебном пособии рассматриваются следующие темы: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, на которых базируется вся математика. Учебное пособие создано на основе опыта преподавания высшей математики в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете на технических и гуманитарных факультетах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности.

После каждого раздела приводятся экзаменационные вопросы. Более подробное изложение данного материала можно найти в книгах, учебных пособиях и монографиях, указанных в списке литературы.

Специфика работы с пособием состоит в том, что сначала необходимо ознакомиться с базовыми понятиями и методами математического анализа, изложенными в соответствующих разделах, затем изучить практическую часть (главу 3), а затем перейти к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. Выполненную контрольную работу следует направить на рецензирование. В случае если рецензент обнаружит ошибки в контрольной работе, рекомендуется проработать материал до полного усвоения неясностей, сделать работу над ошибками в той же тетради, в которой была выполнена контрольная работа, и вернуть ее на повторное рецензирование.

Последним этапом работы с данным пособием является экзамен (зачет), вопросы к которому также приведены в заключительной части данного пособия.


ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Логическая и математическая символика

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы:

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если  – обозначения прямых, то запись  есть утверждение, что   параллельна . Запись «xM» означает, что x является элементом множества M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2   2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2  2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы: .

Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .

Например, формула  есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A  B).

Так формула (–3 > 0) & (2  2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2   2 = 4», которое, очевидно, ложно.

Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается AB .

Предложение: «число x принадлежит множеству  или множеству » изображается формулой:.

Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: AB.

Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

Эквиваленция AB соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы  называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор   читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор  читается: «существует», «найдется» и др.

Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение: a(a > 0  a > –1) является истинным высказыванием.

Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается: xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x(xR & x2 = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F(x)=(xR & x2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула xF(x, y) или xF(x, y) является высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при  этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу: , выражающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(xR & x2 = 2) будем писать:xR(x2 = 2),

вместо x(x > 0 & x2 + 3 = 4) пишем: x > 0 (x2 + 3 = 4).

Формулу x (xR  x2  0) сократим так: xR(x2  0) и т.д.

Будем называть  и т.д. ограниченными кванторами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо   пишем x,y(P(x,y)), вместо   будем писать .


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла