Курс высшей математики Типовой расчет

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Пусть (x) и (x) – б.м. функции при x  a (x + , x  –, x  x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при x  a.

Если  = b и b – конечное число, b  0, то функции (x), (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x  a.

Если  = 0, то (x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем (x) при x  a. Очевидно, в этом случае   = .

Если (x) – б.м. высшего порядка, чем (x), и  = b  0 (b – конечное число, k  N), то (x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с (x) при x  a.

Если не существует  (ни конечный, ни бесконечный), то (x), (x) называют несравнимыми б.м. при x  a.

Если  = 1, то (x), (x) называются эквивалентными б.м. при x  a, что обозначается так: (x)  (x) при x  a.

Пример 1. (x) = (1 – x)3,  (x) = 1 – x3.

Очевидно, что при x  1 функции (x), (x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x  1:

=

Вывод: (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) при x  1.

Нетрудно убедиться, что  =  (убедитесь!), откуда следует, что (x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с (x) при x  1.

Пример 2. Функции 1(x) = 4x, 2 (x) = x2, 3(x) = sinx, 4(x) = tgx являются бесконечно малыми при x  0. Сравним их:

 = 0,  = 1,  = .

Отсюда заключаем, что 2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с 1(x) и 3(x) (при x  0), 1(x) и 3(x) – б.м. одного порядка, 3(x) и 4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x  0.

Теорема 1. Пусть (x) ~ 1(x), (x) ~ 1(x) при x  a. Если существует , то существует и , и  = .

Доказательство.  = 1,  = 1,

 =  = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x  0, поэтому

 = =.

Теорема 2. Бесконечно малые функции (x) и (x) эквивалентны (при x  a) тогда и только тогда, когда (x) – (x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) и (x) (при x  a).

Доказательство

Пусть (x) ~ (x) при x  a. Тогда = = 0, т.е. разность (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) при при x  a (аналогично с (x)).

Пусть (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) и (x), покажем, что (x) ~ (x) при x  a:

 =  = + = 1,

 т.е. (x) ~ (x) при x  a.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Пусть (x) – б.м. низшего порядка по сравнению с (x) и (x) при x  a, т.е.  = 0 и  = 0.

Покажем, что (x) ~ ((x) + (x) + (x)) при x  a:

 =  +  +  = 1 + 0 + 0 = 1.

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x  0: 4x + 2x3 ~ 4x , sin2x + 3tg5x + x3 ~ 3tg5x, тогда

 =  =  = .


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла