Курс высшей математики Типовой расчет

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует  и , то функция f(x) называется непрерывной в точке x0, а x0 называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство  описывается формулой:

>0 >0 x(x0 – , x0 + ) |f(x) – f(x0)| <  .

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, если существуютf(x), f(x) и

f(x) = f(x) = f(x0).

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x0 справа или слева. Пусть функция определена в точке x0 и некоторой ее левой полуокрестности.

Если f(x) = f(x0), то говорят, что f(x) непрерывна в точке x0 слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x3 определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 2.

Действительно, f(2) = 23 = 8, f(x) = x3 = 8, f(x) = f(2), значит, f(x) = x3 непрерывна в точке x0 = 2.

Пример 2. f(x) = .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 0:

f(0) = 0, f(x) = 2x = 0, f(x) = sinx = 0.

Так какf(x) = f(x) = f(0), то непрерывность функции f(x) в точке x0 = 0 доказана.


Дадим определение точек разрыва.

Пусть f(x) определена в окрестности точки x0, но может быть не определена в x0.

Точка x0 называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x0 функция f(x) не определена, или f(x) не существует, илиf(x) f(x0).

Пример 3. Функция f(x) =  не определена в точке x0 = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x0 = 0 является точкой разрыва для f(x).

Пример 4. Функция f(x) =  не определена в точке x0 = 3, x0 = 3 – точка разрыва для f(x).

Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не превосходящему x0. Так E = 1, E(5) = 5, E() = 3, E(0) = 0, 
E(–0,5) = –1 и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14. Для x0 = 2: E(2) = 2, E(x) = 1, E(x) = 2.

Так как E(x) E(x), то E(x) в точке x0 = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.

Точка разрыва x0 для функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют (конечные) пределы: f(x) и f(x). В противном случае x0 – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x0 = 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют пределы E(x) и E(x). В примере 4 x0 = 3 – точка разрыва второго рода, так как  = –,  = +.

Точка x0 разрыва первого рода, для которойf(x) = f(x), называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x0 в примере 3. Если рассмотреть функцию (x) =  , то (x) непрерывна в точке x0 = 0, так как
(x) = =  = 1 и (0) = 1. Доопределив функцию в точке x0 = 0, мы устранили разрыв.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла