Курс высшей математики Типовой расчет

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x0. Если, кроме того, f2(x0) 0, то частное также непрерывно в точке x0.

Доказательство. Доказательство основано на свойствах пределов. Докажем, например, что сумма непрерывных функций непрерывна. Функции f1(x), f2(x) непрерывны в точке x0, поэтому f1(x) = f1(x0), f2(x) = f2(x0). Применяя теорему о пределе суммы двух функций, получим:

(f1(x) + f2(x)) = f1(x) + f2(x) = f1(x0) + f2(x0),

что означает непрерывность f1(x) + f2(x) в точке x0. Аналогично для других утверждений теоремы. Заметим, что формулуf(x) = f(x0) (определяющую непрерывность функции f(x) в точке x0) можно записать в виде: f(x) = f(x), так как x = x0. Эта формула означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Теорема 2. Если функция u = (x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = (x0), то сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство. Покажем, что f((x)) = f((x0)). Действительно, из непрерывности функции (x) имеем: (x) = (x0) = u0, т.е. при x x0 следует, что u u0. Далее, из непрерывности функции f(u) получаем:

f((x)) = f(u) = f(u0) = f((x0)).

Теорема доказана.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x0R, так как C = C.

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x0, так как x = x0. Тогда функция
y = Cxn, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3. Любой многочлен: y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5. Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x0 = 0, так как

sinx = 0, sin0 = 0,  cosx = 1, cos0 = 1, т.е. sinx = sin0 и cosx = cos0

(Это было доказано в разд. 1.9 ).

Сформулируем без доказательств следующую теорему.

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b). 

Пример 6. Функция f(x) =  непрерывна на интервалах (–, 3) и (3, +), так как при x0 3: f(x) =  = f(x0).


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла