Курс высшей математики Типовой расчет

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Если x[–1, 1], y[–p/2, p/2], то функции y = arcsinx, x = siny являются взаимно обратными, причем  = (siny)' = cosy. Если –p/2 < y < p/2 (при этом –1 < x < 1), то
cosy > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем:  тогда

 (–1 < x < 1).

2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если x[–1, 1], y[0, ],
  = (cosy)' = –siny. Если 0 < y <  (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому

.

Так как  то

 (–1 < x < 1).

3. Функции y = arctgx, x = tgy взаимно обратны, если y(–p/2, p/2), a xR. Используя равенство , получаем:

 xR.

4. Для y (0, ) функции y = arсctgx, x = сtgy взаимно обратны,
  = –(1 + ctg2y) = –(1 + x2), поэтому

 xR.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус 

гиперболический косинус 

гиперболический тангенс 

гиперболический котангенс  .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

  ch2x – sh2x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что
(e–x)' = e–x(–1) = –e–x (как производная сложной функции):

Итак, (shx)' = chx.

Аналогично доказывается, что (chx)' = shx.

Так как ch2x – sh2x =1, то получаем: 

Аналогично можно показать, что


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла