Курс высшей математики Типовой расчет

Правило Лопиталя

В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа  и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g'(x)  0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x0) = 0, g(x0) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые при). Если  существует, то существует и

=. (2.18)

Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа .

Дадим значению аргумента x0 приращение x, такое, чтобы точка x = x0 + x принадлежала рассматриваемой окрестности точки x0.

Случай 1. x > 0, тогда x > x0. Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке [x0, x], удовлетворяют теореме Коши, поэтому найдется  такое c (x0, x), что выполняется равенство: =. Так как f(x0) = g(x0) = 0, то получим: =. Заметим, что число c зависит от x, но если , то , так как x0 < c < x. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем:

===.

Случай 2. x < 0, тогда x < x0. Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке
[x, x0], удовлетворяют условиям теоремы Коши, и потому доказательство аналогично, как в случае 1. Итак, теорема Лопиталя доказана. [an error occurred while processing this directive]

Пример 1. Найти .

Решение. Поскольку функции f(x) =1 – cos3x, g(x) = 2x удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то = = = 0.

Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции f(x), g(x) не определены в точке x0, но f(x) = 0 и g(x) = 0. В самом деле, если доопределить f (x), g(x), положив f(x0) = g(x0) = 0, тогда f(x), g(x) будут непрерывны в точке x0, а потому теорема Лопиталя будет применима к ним.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда

f(x) = 0, g(x) = 0.

Действительно, введя новую переменную  y =, видим, что y 0 при x . Тогда  =  =  = .

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в окрестности точке x0, за исключением самой точки x0, причем g'(x)  0, и пусть f(x) = , g(x) = . Если существует , то существует и =.

Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в учебниках.

Отметим, что эта теорема верна для случая, когда x, в этом можно убедиться, повторяя рассуждения замечания 2.

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Например, = 1, а = (1 + cosx) – не существует, так как cosx не существует.

Замечание 4. Если  при x  x0 (x  ) является неопределенностью типа  или , и (x), g'(x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

==.

Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа  или  иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Пример 2. Найти .

Решение. При x  0 и x > 0 lnx = , ctgx = , следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x 0 и неопределенность типа . Вычислим:

 =  = –= –= 0.

Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда = .

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность типа . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим:  =  =  = .

Можно показать, что для любого nN   = . Это означает, что показательная функция ex растет быстрее любой степенной функции xn.

Рассмотрим неопределенности других видов.

Если (x) = 0, F(x) = , то (x)F(x) называют неопределенностью типа 0, а [F(x)](x) – неопределенностью типа 0.

Если F1(x) = +, F2(x) = +, то (F1(x) – F2(x)) – неопределенность типа  – .

Аналогично понимаются и другие неопределенности. При раскрытии таких неопределенностей зачастую помогает способ сведения их к неопределенностям типа  или  с последующим применением правила Лопиталя.

Пример 4. Найти x2lnx.

Решение. Так как lnx = , то имеем неопределенность типа 0. Преобразуем ее к виду x2lnx = , затем применим правило Лопиталя,

 =  =  =  = 0. Итак, x2lnx = 0.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла