Курс высшей математики Типовой расчет

Формула Тейлора

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен Pn(x) степени n разложить по степеням разности (x – x0) (где x0 – некоторое число), т.е. представить Pn(x) в виде:

Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +...+ an(x – x0)n. (2.19)

Вычислим коэффициенты: a0, a1, ..., an. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):

(x) = a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 + ... + nan(x – x0)n–1;

(x) = 2a2 + 23a3(x – x0) + 34a4(x – x0)2 + ... + (n – 1)nan(x – x0)n–2;

(x) = 23a3 + 234a4(x – x0) + ... + (n – 2)(n – 1)nan(x – x0)n–3;

...; Pn(n)(x) = 12... (n – 1)nan; Pn(n+1)(x) = 0. (2.20)

Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x0, получим:

Pn(x0) = a0, (x0) = a1, (x0) = 2a2, (x0) = 23a3, ..., Pn(n)(x0) = 12...(n – 1)nan,

откуда находим:

a0 = Pn(x0), a1 = (x0), a2 = , a3 = , ..., an = .

Подставляя найденные значения a0, a1, ..., an в равенство (2.19), получим разложение многочлена Pn(x) по степеням (x – x0):

Pn(x) = Pn(x0) + (x – x0) + (x – x0)2 + ... + (x – x0)n. (2.21)

Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена Pn(x) n-й степени.

Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x0 принадлежит этому промежутку.

Поставим задачу: найти многочлен n-й степени Pn(x), такой, чтобы значение Pn(x0) совпадало с f(x0), а значение всех производных для Pn(x) в точке x0 (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x0, т.е.

Pn(x0) = f(x0), (x0) = (x0), (x0) = (x0), ..., Pn(n)(x0) = f (n)(x0).

Тогда по формуле (3) многочлен Pn(x) имеет вид:

Pn(x) = f(x0) + (x – x0) + (x – x0)2 + ... + (x – x0)n. (2.22)

Естественно ожидать, что многочлен Pn(x) будет в некотором смысле «близок» к функции f(x), по крайней мере, около точки x0.

Обозначим: Rn(x) = f (x) – Pn(x), тогда f (x) = Pn(x) + Rn(x). Подставляя вместо Pn(x) его выражение (2.22), получим формулу:

f (x) = f (x0) + (x – x0) + (x – x0)2 +...+ (x – x0)n + Rn(x), (2.23)

которая называется формулой Тейлора для функции f(x), а Rn(x) называется остаточным членом.

Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f(x): f(x)  Pn(x), при этом погрешность этого приближения равна: Rn(x). Для оценки Rn(x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1, (2.24)

где c – некоторое число, заключенное между x0 и x. Число c можно представить в виде:
c = x0 + (x – x0),  где  – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 <  < 1. Тогда формула остаточного члена примет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1, (2.25)

Другая формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет вид:

Rn(x) = (x – x0)n+1(1 – )n, (2.26)

где  удовлетворяет неравенству 0 <  < 1.

Вообще говоря, значения  в формулах (2.25) и (2.26) различные. (Вывод этих формул см. [6, с. 186]).

Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x0) + (c)(x – x0), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x0) = (c)(x – x0). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (2.23) положить x0 = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:

f(x) = f(0) + x + x2 + ... + xn + Rn(x), (2.27)

где Rn(x) = xn+1 – остаточный член в форме Лагранжа (0 <  < 1).

Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x0 = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).

1) f(x) = ex

Так как (x) = ex, (x) = ex, ..., f (n)(x) = ex и f(0) = 1, (0) = 1, (0) =1, ...,
f (n)(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:

ex = 1 +  +  + ... +  + ex, 0 <  < 1. (2.28)

Если |x|  1, то при n = 8 получаем: R8 <3 <.

Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.

Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности:
e =   и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8 имеем: e 1 + 1 +  +  +  +  +  +  +  2,71828, причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

2) f (x) = sinx

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:

f(x) = sinx, f(0) = 0,

(x) = cosx = sin(x +), (0) = 1,

* (x) = –sinx = sin(x + 2), (0) = 0,

(x) = –cosx = sin(x + 3), (0) = –1,

f (4)(x) = sinx = sin(x + 4), f (4)(0) = 0,

f (n)(x) = sin(x + n), f (n)(0) = sin.

Если n = 2m, m N,  то f (2m)(0) = 0; при n = 2m + 1: f (2m+1)(0) = (–1)m, поэтому

sinx = x –  +  – ... + (–1)m + (–1)m+1cosx. (2.29)

3) Аналогично для функции f(x) = cosx можно получить следующую формулу Маклорена:

cosx = 1 –  +  – ... + (–1)m + (–1)m+1cosx . (2.30)

В последних двух разложениях  |cosx|  1 и потому Rn(x) по абсолютной величине не превосходит  (в формуле (2.29)) или (в формуле (2.30)).

Пример 2. Вычислить приближенно sin200 с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся формулой (2.29), положив x = 200 =  радиан и взяв 2 члена разложения:  sin – = 0,3420, |Rn|   0,0001.

Задания для самостоятельной работы.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)).

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).

Вычислить приближенно cos400 и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).

В следующих разделах мы будем изучать с помощью производных поведение функций. В разд. 2.9 (следствие из теоремы Лагранжа) мы говорили о том, что если производная (x) = 0 на некотором интервале, то функция f(x) постоянна на этом интервале. Теперь будем изучать другие свойства функции.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла