Курс высшей математики Типовой расчет

Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки M на графике до этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность (рис. 2.17, 2.18).


С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов функции (глава 1). Напомним, что если f (x) = b, то прямая y = b является асимптотой графика
y = f(x) (при x  ), эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (см. рис. 2.18). Аналогично, прямая y = b является асимптотой графика 
y = f(x) при x  , если f (x) = b (рис. 2.17).

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они называются вертикальными асимптотами.

Пусть для функции f (x): f(x) =  или f(x) = , тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 асимптота. Очевидно и обратное, если прямая
x = x0 является асимптотой, то хотя бы один из пределов, f(x), f(x), является бесконечным (см. рис. 2.19, 2.20).

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x0, односторонние пределы в которых равны бесконечности.


Пример 1. Найти вертикальные асимптоты для графика функции y =.

Решение. Функция f(x) = определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x0 = 2, в которой функция терпит разрыв,
= –, = +. Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой для графика y =. Кроме того, = 0 и = 0, следовательно, прямая  y = 0 является горизонтальной асимптотой при x   и при x   (см. рис. 2.21).

Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны оси Oy, будем называть их наклонными асимптотами. Пусть график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x  , тогда ее уравнение имеет вид y = kx + b. Определим числа k и b.

Опустим из точки M(x, f(x)) графика функции перпендикуляр MN на асимптоту (см. рис. 2.22). Из определения асимптоты следует, что при x   длина MN  0 (MN = 0). Из MNK имеем MK =, где  – угол наклона асимптоты к оси Ox, поэтому cos –постоянная величина. Значит, MK = 0. Так как MK = |AK – AM|,
AK = kx + b, то MK = |kx + b – f(x)|, следовательно,

(f(x) – kx – b) = 0. (2.31)

Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика функции y = f (x), то выполняется равенство (2.31) и наоборот, если при постоянных числах k, b выполняется равенство (2.31), то прямая y = kx + b является асимптотой. Из равенства (2.31), разделив бесконечно малую функцию (f(x) – kx – b) на x (а x  ), получим:

 = 0, (2.32)


отсюда угловой коэффициент асимптоты:

. (2.33)

Определим коэффициент b из равенства (2.31), подставив в это равенство значение k:

b = (f(x) – kx). (2.34)

Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика y = f(x), то k, b находятся по формулам (2.33), (2.34). Обратно, если существуют пределы (2.33), (2.34), то прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (2.33), (2.34) не существует, то при x   кривая не имеет асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при x  . Заметим, что отдельно находить горизонтальные асимптоты нет надобности, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k = 0).

Пример 2. Найти асимптоты линии y = ex – x.

Решение. Функция f (x) = ex – x определена, непрерывна на бесконечном интервале (–, +), поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пределы (2.33), (2.34) при
x  ,  x  :

 = ( – 1) = ,

так как  =  (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при
x   наклонных асимптот нет:

 = ( – 1) = –1, так как  = 0,

отсюда k = –1. Далее, (f(x) – kx) = (ex – x + x) = ex = 0, значит, b = 0.

Итак, прямая y = –x есть наклонная асимптота при x   для графика функции y = ex – x.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла