Курс высшей математики Типовой расчет

Дифференциал функции

Пример 1. Найти .

Решение. Напомним, что . Найдем

,

тогда дифференциал .

Пример 2. Вычислить приближенно: а) ; б) ; в) .

Решение. Используем формулу: .

а) Рассмотрим функцию ; возьмем , тогда . Имеем:

;

.

Итак, .

б) Рассмотрим функцию  и возьмем: ; . Тогда:

.

в) . Вычислим . Обозначим:

; ; ; тогда .

Следовательно, .

Наибольшее и наименьшее значение функции

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке .

Решение. Найдем критические точки (подозрительные на экстремум) функции из условия, что  или  не существует:

,

 во всех точках существует, , когда .

Раскладывая левую часть на множители, получаем:

,

отсюда находим критические точки: , , .

Из этих точек отрезку  принадлежат только две:  и . Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка, т.е. при  и :

;

;

;

.

Итак, получили .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке .

Решение. ,  определена во всех точках;  при . На отрезке    при .

Имеем три точки: , , , в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения.

;

.

Итак, .

Среди многих применений производной функции одного переменного важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).

Пример 3. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, у которого сумма катета и гипотенузы равна .

Решение. Обозначим один из катетов треугольника через , тогда гипотенуза будет равна , а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

.

Площадь треугольника , так как  должна быть максимальной, то  или  не существует. Находим производную:

.

 не существует, если , но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. , если . Тогда , гипотенуза будет равна ; т.е. , где – угол, прилежащий к катету . Значит, ; другой угол будет . В этой точке:

,

при  имеем: , значит, это действительно точка максимума.

Искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами ,  и сторонами ,  и .

Пример 4. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.

Решение. Ширину данных досок обозначим через . Поперечное сечение изображено на рис. 3. 1.

Обозначим через  угол  (), тогда , .

Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:

.

Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка  является точкой максимума функции , является то, что   или  не существует. Найдем точку максимума:

,

но  всегда существует. Точки, в которых , находятся из уравнения: . Тогда  или . Если , то , но в этом случае никакого желоба не получится, так как . Остается случай, когда , тогда , так как .

Проверим, является ли эта точка точкой максимума . Найдем :

.

Значит,  действительно точка максимума:

.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла