Курс высшей математики Типовой расчет

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

Решение

1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций  и , получаем область определения функции:

: .

2) Так как функция определена только для положительных значений , то функция не является симметричной.

3) Найдем точки пересечения с осью :  или , т.е. , откуда . Точки пересечения с осью  не существует, так как  никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – .

4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

5) Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

.

Отсюда прямая  (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

,

.

Полученная прямая  (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции.

6) Найдем .

Производная равна нулю, когда , то есть при . Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка первого рода.

7) Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной  на всех интервалах (рис. 3.5):

, .

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то  – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале  функция возрастает, а на  – убывает.

8) Найдем :

.

Производная второго порядка равна нулю, если  или , . Отсюда получаем: , . Так как  не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода .

9) Нанесем область определения функции и критическую точку второго рода на числовую ось (рис. 3.6). Найдем знаки  на всех полученных интервалах:

.

При переходе через критическую точку  производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале  график является выпуклым, а на  – вогнутым.

10) Найдем значения функции при  и :

.

Для более точного построения графика вычислим значения функции  в дополнительной точке: .

11) Данные, необходимые для построения графика, сводим в таблицу и согласно последней строке в таблице строим график функции (рис. 3.7).

+

0

0

+


 


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла