Пределы числовых последовательностей и функций.
Образец выполнения типового расчёта № 1.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1.
Решение:
Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности
, предел которой не определён, и сходящейся последовательности
, предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней.
Тогда:
.
1.2.
.
Решение:
.
1.3.
.
Решение:
Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность в виде произведения двух последовательностей:
, где
. Очевидно,
. Последовательность
в силу свойств косинуса является ограниченной:
. Таким образом, члены последовательности
при
будут принимать как неограниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1.
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида
. Для её раскрытия используем следующее известное свойство.
Пусть дана дробно-рациональная функция
, где
некоторые многочлены. Тогда:
Если степень многочлена
больше степени многочлена
, то
.
Если степень многочлена
меньше степени многочлена
, то
.
Если степень многочлена
равна степени многочлена
, то
, где
числовые коэффициенты при наивысших степенях
в данных многочленах.
В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому
.
2.2.
.
Решение:
В данном случае снова имеем неопределённость вида
. Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому
.
2.3.
.
Решение:
В данном случае снова имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель:
.
2.4.
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:
.
2.5.
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, введём подстановку
. Заметим, что
, при
. Получим:
.
2.6.
.
Решение:
Имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела
.
.
Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.
2.7.
.
Решение:
Имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела
. Введём подстановку
. Заметим, что
, при
. Получим:
.
2.8.
.
Решение:
Имеем неопределённость вида
. Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение второго замечательного предела
.
. Далее, воспользовавшись равенствами
и
, получим:
.
2.9.
.
Решение:
Обратим внимание, что в данном случае
, поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.
.
2.10.
.
Решение:
Прежде всего, заметим, что если
стремится к единице слева, то
будет принимать близкие к нулю отрицательные значения, и выражение
, очевидно, стремится к
. Тогда:
.
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
.
Решение:
Найдём область определения данной функции.
. Итак, имеем две точки разрыва:
и
. Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.
Точка
является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как:
.
Точка
является точкой устранимого разрыва, так как:
.
Окончательный ответ: функция непрерывна при
; точка
является точкой бесконечного разрыва; точка
является точкой устранимого разрыва и
.
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла |