Курс высшей математики Типовой расчет

Пределы числовых последовательностей и функций.

Образец выполнения типового расчёта № 1.

 Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:

1.1.

Решение:

Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности , предел которой не определён, и сходящейся последовательности , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней.

Тогда: .

1.2. .

Решение:

.

1.3. .

Решение:

Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность в виде произведения двух последовательностей: , где . Очевидно, . Последовательность  в силу свойств косинуса является ограниченной: . Таким образом, члены последовательности   при  будут принимать как неограниченно большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён.

 Задание 2. Найти пределы функций:

2.1. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем следующее известное свойство.

 Пусть дана дробно-рациональная функция , где  некоторые многочлены. Тогда:

Если степень многочлена  больше степени многочлена , то .

Если степень многочлена  меньше степени многочлена , то .

Если степень многочлена  равна степени многочлена , то , где числовые коэффициенты при наивысших степенях  в данных многочленах.

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому .

2.2. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому .

2.3. .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .

2.4..

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:

.

2.5. .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

 .

2.6. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела .

.

Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.

2.7. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела . Введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:

.

2.8. .

Решение:

Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение второго замечательного предела .

. Далее, воспользовавшись равенствами  и , получим: .

2.9. .

Решение:

Обратим внимание, что в данном случае , поэтому нет необходимости использовать второй замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть вычислен непосредственно.

 .

2.10. .

Решение:

Прежде всего, заметим, что если  стремится к единице слева, то  будет принимать близкие к нулю отрицательные значения, и выражение , очевидно, стремится к . Тогда: .

 Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:

.

Решение:

Найдём область определения данной функции. . Итак, имеем две точки разрыва:  и . Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.

 Точка  является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: .

 Точка  является точкой устранимого разрыва, так как:

.

  Окончательный ответ: функция непрерывна при ; точка  является точкой бесконечного разрыва; точка  является точкой устранимого разрыва и .


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла