Пределы числовых последовательностей и функций.
Образец выполнения типового расчёта № 1.
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1. 
Решение:
Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной
последовательности 
, предел которой не определён, и сходящейся последовательности
, предел которой равен нулю. Согласно
одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и
сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел
которой равен пределу последней.
Тогда: 
.
1.2. 
.
Решение:
.
1.3. 
.
Решение:
Как и в первом пункте данного задания, представим данную последовательность
в виде произведения двух последовательностей: 
, где 
. Очевидно, 
. Последовательность 
в силу свойств косинуса является ограниченной: 
.
Таким образом, члены последовательности 
при 
будут принимать как неограниченно
большие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность
является расходящейся и предел её не определён.
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. 
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида 
. Для её раскрытия используем следующее известное
свойство.
Пусть дана дробно-рациональная функция 
, где 
некоторые многочлены. Тогда:
Если степень
многочлена 
больше степени многочлена 
, то 
.
Если степень многочлена меньше степени многочлена , то 
.
Если степень многочлена равна степени многочлена , то 
, где 
числовые коэффициенты при наивысших степенях 
в данных многочленах.
В данном
случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому 
.
2.2.
.
Решение:
В
данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же
известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а
степень знаменателя – трём. Поэтому 
.
2.3. 
.
Решение:
В данном случае снова имеем неопределённость вида 
. Чтобы раскрыть её, преобразуем данную
функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: 
.
2.4.
.
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида 
. Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на
дробь, сопряжённую её знаменателю:
.
2.5.
.
Решение:
В данном
случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку 
.
Заметим, что 
, при 
. Получим:
.
2.6.
.
Решение:
Имеем
неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который
допускал бы применение первого замечательного предела 
.
.
Замечание. При выполнении этого задания и заданий, подобных ему, можно использовать и другие способы решения – например, применить правило Лопиталя или эквивалентность бесконечно малых функций.
2.7. 
.
Решение:
Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём
данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела
. Введём подстановку 
.
Заметим, что , при 
. Получим:
.
2.8.
.
Решение:
Имеем
неопределённость вида 
. Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который
допускал бы применение второго замечательного предела 
.
.
Далее, воспользовавшись равенствами 
и 
, получим: 
.
2.9. 
.
Решение:
Обратим внимание, что в данном случае 
, поэтому нет необходимости использовать второй
замечательный предел, поскольку нет никакой неопределённости, и предел может быть
вычислен непосредственно.
.
2.10.
.
Решение:
Прежде
всего, заметим, что если стремится к единице слева, то 
будет принимать близкие к нулю отрицательные
значения, и выражение 
, очевидно, стремится к 
. Тогда: 
.
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность:
.
Решение:
Найдём область определения данной функции. 
. Итак, имеем две точки разрыва: 
и 
. Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой
из этих точек.
Точка является точкой бесконечного разрыва (второго рода),
так как: 
.
Точка является точкой устранимого разрыва, так как:
.
Окончательный ответ: функция непрерывна при 
; точка является точкой бесконечного разрыва; точка
является точкой устранимого разрыва
и 
.