Курс высшей математики Типовой расчет

Типовой расчёт № 2

Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Образец выполнения типового расчёта № 2.

 Задание 1. Вычислить приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента .

Решение:

Воспользуемся формулой: . Для данной функции получим: .

Ответ: .

Задание 2. Найти производные функций:

2.1.

Решение:

.

. 2.2. .

Решение:

Используем правило дифференцирования сложной функции: .

.

Заметим, что этот результат можно было получить, представив функцию в виде .

2.3. .

Решение:

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: . Получим .

2.4. .

Решение:

Снова используем формулу производной сложной функции: . Получим: .

 Задание 3. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение:

Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной , учитывая при этом, что  является функцией аргумента. Получим:

. Из полученного равенства выразим производной: , откуда .

 Задание 4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

  Решение:

Используем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: . Получим: .

  Задание 5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .

Решение:

Используем приближённое равенство: , верное при малых значениях . Откуда: .

Преобразуем сначала исходное выражение: . Положим , , . Производная равна: , . Окончательно имеем: .

 Задание 6. Найти вторую производную функции .

 Решение:

Сначала находим первую производную: .

Вычисляем вторую производную:

.

  Задание 7. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке .

 Решение:

Запишем уравнение касательной: . В нашем случае , . Подставляем в уравнение: , откуда  - уравнение касательной.

Запишем уравнение нормали: . Подставив в это уравнение числовые данные: , откуда  - уравнение нормали.

 Задание 8. Найти производную функции  с помощью логарифмического дифференцирования.

  Решение:

Запишем общую формулу логарифмической производной: . В нашем случае:

  Задание 9. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

  .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

 Итак,  и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

 Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

Составим таблицу:

Подпись: x	(0;e)	e	(e;+¥)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

 Решение:

Найдём область определения функции: . Далее, продифференцируем функцию: . Найдём критические точки: . Одна из них, , принадлежит рассматриваемому промежутку. Определим значение функции в границах отрезка и в этой точке:

 . Таким образом, .


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла