Курс высшей математики Типовой расчет

Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x  +

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +).

Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к + (x +), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция y =  определена на интервале (0, +). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x

1

5

10

20

y

4

3

2,5

2,2

2,1

2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что = 2.

Разность  показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность
f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа , если x взять достаточно большим. Например,  = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть  – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f(x) – 2 <  для всех x > x0. Действительно, f(x) – 2 = , < , x >. Обозначив x0 = , получаем, что для всех x, если x > x0, то f(x) – 2 < . Итак мы показали, что  = 2.

Пример 2. Функция y =  определена на (–2, +). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

x

0

1

2

3

10

98

998

y

0

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что  =1. Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа  при достаточно больших x. Для этого решим неравенство  < , получим:  2 + x > , и x >  – 2. Обозначим: x0 = 2. Таким образом, если x > x0, то
| f(x) – 1| < . Например, возьмем в качестве  число 0,01, тогда:

x0 =  – 2 = 300 – 2 = 298, x0 = 298.

Если x > 298, то  < 0,01. Этим мы показали, что  = 1 (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x +.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +, если для любого положительного числа  найдется такое число x0, что для всех x, больших x0, выполняется неравенство:

f(x) – b | < 

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

f(x) = b означает  > 0 x0 x > x0 ( | f(x) – b | <  ).

Пример 3. Доказать, что  = 0 x  (0, +).

Доказательство: f(x) = . Зафиксируем произвольное  > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < . Действительно,

| f(x) – 0 | =  = ;
<   x > .

Обозначим: x0 = , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < , значит,   = 0.

Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x +. Неравенство:
| f(x) – b | <   равносильно двойному неравенству: b –  < f(x) < b + . Из определения предела следует, что по произвольному  > 0 найдется такое x0, что для всех x, больших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + , y = b – .

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f(n), n  N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x®+Ґ.

Число b называется пределом последовательности {an}, если для любого  > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | an – b | < . Обозначение: an = b.

Доказать самостоятельно, что  = 0.

Предел функции при x -

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к – (x  –), если для любого положительного числа  существует такое x0, что для всех x, меньших x0, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < . Обозначение: f(x) = b.

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному   > 0 найдется число x0, такое, что для всех x, меньших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + , y = b – .

Доказать самостоятельно, что  = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x  + или x  –. Например, sinx не существует, так как значения sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sinx. Последовательность: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла