Курс высшей математики Типовой расчет

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем (без док.) Геометрический смысл. Среднее значение функции.

Основные свойства определенного интеграла.

,где c-const,

Определенный интеграл от функций:

Адитивность определенного интеррала

Если   , то  

Монотонность определенного интеграла . если , то

Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b,  

Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.

3. Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.)

Классы интегрируемых функций.

Теорема №1

Если   определена на [a,в] и непрерывна, то   интегрируема [a,в].

Теорема №2

Если функция  монотонна и ограничена на [a,в], то  интегрируема на [a,в].

Теорема №3

Если ограниченная функция  на [a,в] имеет конечное число точек разрыва, то   интегрируема на [a,в].

4. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом (доказать)

Теорема(Борроу): определенный интервал с переменным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на  является первообразной для интегрируемой функции, т.е.  

Док-во: дадим аргументу х приращение ,

тогда   =>/ По Теореме о среднем / ;

то т.д.

ГЕОМ.ИЛЛЮСТРАЦИЯ ТЕОРЕМЫ:

 

Приращение = = S криволинейной

трапеции с осями , а производная =f(х)= длине отрезка х Х.

СЛЕДСТВИЕ: всякая непрерывная функция имеет первообразную.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла