Курс высшей математики Типовой расчет

Теорема Ньютона-Лейбница (доказать)

Теорема (Ньютона-Лейбница, формула) Если F(х)- есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(х), то справедлива формула: .

Док-во:

С одной стороны F(х) первообразная f(х). С другой стороны по Теореме об определенном интеграле с переменным верхним пределом, - первообразная f(х).

Но любые 2 первообразные от f(х) отличаются на постоянное слагаемое с=const.

Если х=а, то , но т.к. интеграл с одним пределом равен нулю, =>  0=F(a)+C.

Если х=b,то

,то  т.д.

Замечание: Теорема справедлива и для кусочно-непрерывной функции


6. Теорема об интегрировании по частям (доказать)

Пусть U(x)и V(x) – имеют некоторые первообразные на [a,b], тогда

Док-во: На [a,b] имеет место равенство (UV)’=U’V+UV’

(UV) – первообразная для непрерывной ф-ии (U’V+UV’), тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

7. Теорема об интегрировании методом подстановки (доказать)

Пусть f(x) – непрерывная на [a,b], ф-ия x=φ(t) – непрерывно дифференцируема на [t1,t2], причем φ: [t1,t2] → [a,b] и φ(t1)=a φ(t2)=b тогда

Док-во: Пусть F(x) первообразная для f(x) на [a,b], тогда по формуле Ньютона-Лейбница


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла