Курс высшей математики Типовой расчет

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать)

Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Доказательство:

Пусть несобственный интеграл  сходится.

Рассмотрим = {f(x), если f(x)>=0

 {0, если f(x)<0

  = {0, если f(x)>0

 {f(x), если f(x)<=0

  f(x)= =

14. Основные топологические понятия: замкнутая и открытая область, расстояние между точками, связная и несвязная область и т.д.(×)

Определение: Множество всех упорядоченных наборов (x1,x2,…,xn) действительных чисел x1,x2,…,xn – называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается R. А его элементы называются точками пространства R.

Числа x1,x2,…,xn – называются координатами токи (x1,x2,…,xn). Обозначают прописными буквами латинского алфавита M(x1,x2,…,xn)

Расстоянием ρ(M’,M’’) между двумя точками M’(x1,x2,…,xn) и M’’(x1’,x2’,…,xn’) n- мерного пространства называется число:

Геометрическое место точек P, координаты которого удовлетворяют z=f(x,y) называется графиком функции 2-х переменных.

ε - окрестность т.  называется множество точек, отстоящих от точки M0 на расстояние меньше чем ε  

Проколотая окрестность. ε -окрестность т. M0.

Точка  называется внутренней точкой множества , если она принадлежит множеству D вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка называется граничной точкой множества D, если в любой её окрестности найдутся точки принадлежащие D, и не принадлежащие D.

Совокупность всех граничных точек называется границей множества D.

Точка  называется внешней точкой множества , если E существует окрестность т. M0 в которой нет точек множества D.

Множество D точек пространства  называется открытым, если все его точки – внутренние.

Точка  называется предельной точкой множества D, если существует последовательность т.  такая, что   (Mn сходится к т. M0)

Множество D называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки.

Множество D называется связным, если любые две точки M и B можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

Открытое связное множество называется областью

Множество D – называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором n-мерном шаре, т. е.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла