Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.(×)
ФНП: Пусть множество
(произвольное подмножество
-мерного пространства). Если правило
каждой точке
ставит в соответствие некоторое определенное действительное число
, то говорят, что на множестве
задана числовая функция или отображение
от
переменных:
или
; где
-область определения,
-аргументы, независимые переменные,
- множество значений.
График функции: Графиком функции нескольких переменных называется множество
, где
. Если
,
, то
Область определения, область значений: Если каждой паре (x,y) из множества D по некоторому закону поставлено в соответствие значение переменной z из множества E, то переменную z будем называть функцией двух переменных и обозначать: z=f(x,y). Множество D называется областью определения, а множество E – областью значений функции.
Область определения: Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z=f(x,y) называется областью определения этой функции.
Пусть z=f(x,y) , D(f)=G – область
P P(x,y,z)=P(x,y,f(x,y))
Поверхность (или линия) уровня: Поверхность (линия), в точках которой поле принимает постоянные значения, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.
Семейство поверхностей (линий) уровня может быть задано уравнением U=C, C-const
Если
, n=2 – линия уровня
n=3 – поверхность уровня
Понятие предела ФНП. Свойства пределов ФНП
Понятие предела функции нескольких переменных аналогично понятию пре дела функции одной переменной.
Определение по Коши: Число A называется пределом функции U = f(M) в т. M0 , если
существует
такое, что для точки M удовлетворяет условию:
выполняется неравенство
Обозначается:
Краткая символическая запись:
Смысл данного определения состоит в том, что значение функции f(x, y) как угодно мало отличается от A в точках достаточно малой окрестности точки M0 .В частности, для функции двух переменных f(x,y)
Свойства пределов ФНП
1) Если P0(x0,y0) не является бесконечно "удаленной точкой, то U(P0,δ)
2) Если P0(∞,∞ ) - бесконечно удаленная точка, то под окрестностью U(P0, δ)
понимается мн-во точек, удовлетворяющих неравенству
> δ Описать самостоятельно окрестность U(P0,δ) точки P0(x0,∞).
3) Предел функции нескольких переменных существует, если его значение не зависит от способа стремления точки P к точке P0. Поэтому, если значение предела хотя бы при одном способе стремления P к P0 отличается от других, предел не существует.
4) Как и для функции одной переменной, для функции нескольких переменных вводится понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин. Согласно определению, величина f(P) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при стремлении P к P0, если
В последнем случае неравенство (1) в определении предела заменяется |f(P)| > ε
Пусть заданы две функции
и
определены на
и пусть
и
, тогда
1)
2)
3)
, В≠0
Задачи приводящие к понятию определенного интеграла |