Курс высшей математики Типовой расчет

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.(×)

ФНП: Пусть множество  (произвольное подмножество -мерного пространства). Если правило  каждой точке  ставит в соответствие некоторое определенное действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция или отображение   от  переменных:

  или ; где -область определения, -аргументы, независимые переменные, - множество значений.

График функции: Графиком функции нескольких переменных называется множество , где . Если , , то

Область определения, область значений: Если каждой паре (x,y) из множества D по некоторому закону поставлено в соответствие значение переменной z из множества E, то переменную z будем называть функцией двух переменных и обозначать: z=f(x,y). Множество D называется областью определения, а множество E – областью значений функции.

Область определения: Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z=f(x,y) называется областью определения этой функции.

Пусть z=f(x,y) , D(f)=G – область

  P P(x,y,z)=P(x,y,f(x,y))

Поверхность (или линия) уровня: Поверхность (линия), в точках которой поле принимает постоянные значения, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля.

Семейство поверхностей (линий) уровня может быть задано уравнением U=C, C-const

Если , n=2 – линия уровня

 n=3 – поверхность уровня


Понятие предела ФНП. Свойства пределов ФНП

Понятие предела функции нескольких переменных аналогично понятию пре дела функции одной переменной.

Определение по Коши:  Число A называется пределом функции U = f(M) в т. M0 , если существует такое, что для точки M удовлетворяет условию:

выполняется неравенство

Обозначается:

Краткая символическая запись: Смысл данного определения состоит в том, что значение функции f(x, y) как угодно мало отличается от A в точках достаточно малой окрестности точки M0 .В частности, для функции двух переменных f(x,y)

Свойства пределов ФНП

1) Если P0(x0,y0) не является бесконечно "удаленной точкой, то U(P0,δ)

2) Если P0(∞,∞ ) - бесконечно удаленная точка, то под окрестностью U(P0, δ)

понимается мн-во точек, удовлетворяющих неравенству   > δ Описать самостоятельно окрестность U(P0,δ) точки P0(x0,∞).

3) Предел функции нескольких переменных существует, если его значение не зависит от способа стремления точки P к точке P0. Поэтому, если значение предела хотя бы при одном способе стремления P к P0 отличается от других, предел не существует.

4) Как и для функции одной переменной, для функции нескольких перемен­ных вводится понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин. Со­гласно определению, величина f(P) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при стремлении P к P0, если

В последнем случае неравенство (1) в определении предела заменяется |f(P)| > ε

Пусть заданы две функции  и  определены на  и пусть  и , тогда

1)

2)

3) , В≠0


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла