Курс высшей математики Типовой расчет

Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие (без док.) 

Теорема1(о нопрерывности дифференцируемой функции):

Всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Док-во:

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема. Тогда существует

  Но , а по определению непрерывности и означает непрерывность z=f(x,y).

Теорема2(необходимое условие дифференцируемости):

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке  (x0,y0), то в этой точке существуют частные производные по всем переменным и они равны:;

Док-во:

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема, т.е.

Вычислим:

Аналогично:

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости)

Пусть в области D функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные, тогда функция дифференцируема.

Следствие.

Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные в т. , то она имеет полный дифференциал в т.   и в некоторой ее окрестности выполняется равенство:

,т. е. ;Если ∆х=dx, ∆y=dy, то


24. Понятие неявно заданной функции. Теорема о дифференцируемости неявно заданной функции (без док.) (×)

Функция z=f(x,y) называется неявной, если она задается уравнением F(x;y;z)=0, неразрешенным относительно z. Чтобы найти частные производные дz/дx и дz/дy неявной функции z, заданной уравнением F(x;y;z)=0, нужно подставить вместо z функцию f(x,y), получим тождество F(x;y;f(x;y))0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

Теорема1(О существовании, непрерывности, единственности, дифференцируемости неявной функции одного аргумента)

Пусть 1) F(x,y)=0 определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности т. М0(х0,у0)

2) F(x0,y0)=0

3) F′y(x0,y0)≠0

Тогда найдется окрестность точки х0 U(x0,δ) в этой окрестности существует неявно заданная функция y=f(x) определенная уравнением f(x,y)=0 и такая, что 1)y0=f(x0)

2) y=y(x) непрерывна вместе со своими частными производными 

 F′x(x,y)

  y′= -----------

 F′y(x,y)

Теорема2 (о существовании , единственности, непрерывности и дифференцируемости неявной функции многих переменных):

Пусть выполняется:

F(x1,x2,x3,…..,xn,U) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности M0т. М0(x01,x02,….,x0n)

F(M0)=0

F′U(M0)≠0

Тогда найдется такая окрестность M0 в пределах которой существует неявно заданная функция  U(x1,x2,x3,…..,xn ), которая определяется уравнением F(x1,x2,x3,…..,xn,U)=0, такая что

1) U0(x10,x20,…..,xn0 )

 2) U=U(x1,x2,x3,…..,xn ) непрерывна вместе со своими частными производными при чем выполняется:

25. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (вывод)

Плоскость α проходит через точку М0(x0,y0,z0) , то ее уравнение может быть записано в виде А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0, которое можно переписать так: z-z0=A1(x-x0)+B1(y-y0) (1)

(разделив уравнение на –С и обозначив А/-C=A1, В/-C=B1).

Найдем А1 и В1.

Уравнения касательных l1 и l2 имеют вид

 z-z0=f′y(x0,y0)∙(y-y0) , x=x0;

 z-z0=f′x(x0,y0)∙(x-x0) , y=y0;

соответственно.

  Касательная l1 лежит в плоскости α, следовательно, координаты всех точек l1 удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

  z-z0=f′y(x0,y0)∙(y-y0)

 x=x0

  z-z0=A1(x-x0)+B1(y-y0)

Разрешая эту систему относительно В1, получим, что В1=f′y((x0,y0).

Подставив значения А1 и В1 в уравнение (1), получаем уравнение касательной плоскости:

z-z0= f′x(x0,y0)∙ (х-х0)+ f′y(x0,y0)∙(y-y0)

Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла