Курс высшей математики Типовой расчет

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке  x0 (x  x0), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0 достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y =  определена во всех точках числовой оси, за исключением x0 = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x  2:   = 2x.

x

1,6

1,7

1,8

1,9

2,1

2,2

2,3

2,4

y

3,2

3,4

3,6

3,8

4,2

4,4

4,6

4,8

График функции: y =  совпадает с прямой: y = 2x для всех x  2

Покажем, что  = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = | – 4 | = | 2x – 4 |, так как x  2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <, тогда из неравенства: |2x – 4| <   получаем |x – 2| <. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +   и, вообще, для любого (малого) положительного числа  |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +  (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим  = . Итак,  = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положительного числа  найдется положительное число , такое, что для любого x  x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 –  < x < x0 + , выполняется неравенство: | f(x) – b| < .

Символически f(x) = b означает:

 > 0  > 0 x  x0 (x0 –  < x < x0 +   | f(x) – b | < ). (*)

Заметим, что условие:

«x  x0 и x0 –  < x < x0 + »

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 | <  , и тогда формула (*) примет вид:

 > 0  > 0 x (0 < | x – x0 | <   | f(x) – b | < ).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на  значения f(x) отличаются от b не более чем на .

Пример 2. Показать, что x = x0.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого   > 0: | f(x) – x0 | <  при условии | x – x0 | <   (здесь  = ).

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть  > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x0, интервал (x0 – , x0) – левой -полуокрестностью точки x0. Интервалы (x0, b), (x0, x0 + ) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой -полуокрестностью точки x0 (см. рис. 1.8, 1.9).


Пусть f(x0) определена в левой полуокрестности точки x0.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой -полуокрестности (x0 – , x0), выполняется неравенство:
|f(x) – b| < .

Символическиf(x) = b означает: >0 > 0 x(x0 –  < x < x0  | f(x) – b | < ) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой -полуокрестности (x0, x0 + ), выполняется неравенство: | f(x) – b | <  (см. рис. 1.9).

Символическиf(x) = b означает: >0 >0 x(x0 < x < x0 +   |f(x) – b| < ).

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10):

f(x) =  .

Найти f(x) и f(x).

Решение. Покажем, что f(x) = 1, а f(x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое   > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| <   2 |x – 1| <   |x – 1| < . Так как x < 1, то
f(x) – 1| < , если 1 –  < x < 1, следовательно,  = . Итак, если 1 –  < x < 1, то
| f(x) – 1| < , т.е.  f(x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем  > 0,

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| <   |1 – x| < , т.е. | f(x) – 1 | <  для 
x  (1, 1 + ). Значит,  f(x) = 3.

Очевидно, если f(x) = b, то f(x) = b и f(x) = b.

Верно и обратное, если f(x) = f(x) = b, то f(x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x0 не равен левостороннему пределу функции в точке x0, то f(x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x0.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла