Курс высшей математики Типовой расчет

Теорема о дифференцировании сложной функции (1-я теорема – доказать, 2-я – без док.)

Теорема1:

Пусть задана z=f(x,y) определена на D и  , t(α,β)

Для любого t0(α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) D.

Пусть выполняются два следующие условия:

1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D дz/дx; дz/дy

2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные  dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существует производая сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле

Док-во:

Рассмотрим функцию z=f(x,y)=f(x(t),y(t))

из 1)  z - дифференцируема. По определению

(*); ; ;

Выберем Δx и Δy специальным образом зависящие от Δt:

Δx=x(t0+ Δt)-x(t0);Δy= y(t0+ Δt)-y(t0)

в силу непрерывности функции x(t) и y(t)  

 =0  поделив (*) на Δt≠0 получим 

; z′t=z′xx′t+ z′yy′t

Теорема2(более общий случай)

Пусть z=f(x,y), определена в области D.  определена областью G причем выполняется, если (U,V)G,то x(U,t),y(U,t) D

Пусть выполняются условия:

для z=f(x,y) существуют непрерывные частные производные

для существуют частные производные, тогда существуют производные сложной функции

Если функция будет иметь больше переменных, то увеличится число слагаемых.


27. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала (доказать для случая z=U(x,y)).

Пусть z=f(x,y), где , удовлетворяет условию теоремы (Пусть задана z=f(x,y) определена на D и  , t(α,β))

Для любого t0(α,β) должен соответствовать | x(t0),y (t0 ) D.

Пусть выполняются два следующие условия:

1) функция z=f(x,y) имеет частные непрерывные производные в D дz/дx; дz/дy

2) функции x=x(t), y=y(t) имеют непрерывные производные  dx/dt ; dy/dt на множестве (α,β), тогда существуют производные сложной функции dz/dt и находятся по следующей формуле dz/dt=дt/дx∙dx/dt+дz/дy∙dy/dt)

  тогда

Форма 1-го дифференциала функции 2-х (и более) переменных не зависит от того являются ли х и у независимыми переменными или являются функциями других независимых переменных.

Док-во:


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла