Курс высшей математики Типовой расчет

Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума (доказать)

Функция z=f(x,y) имеет max в точке М0(х0,у0), если f(x0,y0)>f(x,y) для любого(х,у), достаточно близких к (.)(х0,у0) и отличных от нее.

Функция Z=f(x,y) имеет min в точке М0(х0,у0), если F(x0,y0)<f(x,y) выполняется для любых точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0), но отличных от нее.

Точки максимума и минимума функции называются экстремумами функции z=f(x,y); точки в которой частные производные dz/dx=0 dz/dy=0 или не существуют называются критическими.

Т. Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от Z либо обращается в нуль при этих значениях, либо не существует.

Дадим переменному у определенное значение, именно у=у0. Тогда функция f(x,y0) будет функцией одного пременного х. Т.к при х=х0 она имеет экстремум (max или min), то следовательно (dz/dx)x=x0 y=y0 или равно нулю или не существует. Аналогично можно доказать, что (dz/dy)x=x0 y=y0 или рано нулю или не существует. Замечание: Данное условие не является достаточным условием экстремума в т. Х0, у0.

Достаточное условие: Пусть дана функция z=f(x,y)? введем следующие обозначения: a11=d2z/dx2 a12=d2z/dxdy a22=d2z/dy2 δ=

Пусть в некоторой области, содержащей (.) М0(х0,у0) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того точка М0 является критической точкой функции z=f(x,y), т.е: (df(x0,y0))/dx=0; (df(x0;y0))/dy=0, тогда при х=х0, у=у0:

f(x,y) имеет минимум, если a11>0, δ>0 (d2f(x0,y0)>0)

f(x,y) имеет максимум, если a11<0, δ>0 (d2f(x0,y0)<0)

функция F(x,y) не имеет ни максимума ни минимума, если δ<0 (d2f(x0,y0) меняет знак)

если δ=0, то экстремум в точке (х0,у0) может существовать, а может и нет


Квадратичные формы. Положительно определенная, отрицательно определенная, квазизнакоопределенная, неопределенная квадратичная форма. Достаточное условие существования экстремума в терминах квадратичной формы (сформулировать).

Некоторые сведения о квадратичных формах [к.ф.]

Опр. К.ф. от n-переменных называется функция вида Q(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1n+x1xn+ a2nx2x1+a22x22+…+a2n+x2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2, где аi,j – действительные числа aij=aji

Краткая запись

аi,j – это коэффициенты квадратичной формы и из этих коэффициентов составляют матрицу

матрица квадратичной формы.

Опр. Миноры матрицы образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами на главными (угловыми) минорами

Обозначаются , …

Виды квадратичных форм.

Определение

Примеры

Знако - енные

Положительно определенные

Если для любых значений х1,…,хn≠0 одновременно к.ф. принимает положительные значения

Q(x1,xn)=2x12+3x22

Отрицательно определенные

||~||

Отрицательные значения

Q(x1,xn)=- x12+x1x2- x22

квазизнакоопределенная

Неотрицательная

Если к.ф. принимает неотрицательные значения, но при этом обращается в 0, не только при х1=x2=…=xn=0

Q(x1,x2)=(x1+x2)2

Q=0, при x1= -x2

M(1;-1)

Неположительная

Если к.ф. принимает неположительные значения, но при этом обращается в 0, не только при х1=x2=…=xn=0

Q(x1,x2)=-(x12+2x1x2+x22)= -(x1+x2)2

Q=0, при x1= -x2; M(2;-2)

Квазизнакопеременая

||~||

Если к.ф. принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Q(x1,x2)=x12+x22

Q(2,1)=3>0

Q(1,2)=-3<0

Т3. Достаточный признак (условие) локального экстремума (в форме дифференциалов)

Пусть задана функция U=f(x1,…,xn) дифференцируема в некоторой окрестности т. М0 и дважды дифференцируема в т. М0, и М0 – стационарная точка du(M0)=0

Тогда если

d2u|Mo положительно отрицательный к.ф., то М0 – точка локального минимума

если d2u|Mo – отрицательно определенная квадратичная форма, то М0 – точка локального максимума.

d2u|Mo – знакопеременная к.ф. то экстремум в точке М0 отсутствует.

d2u|Mo – квазизнакопеременная к.ф. то в т. М0 может быть экстремум, может и не быть.


Свойства степенных рядов