Курс высшей математики Типовой расчет

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши.

Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Если неизвестная функция зависит от одной переменной то диф. ур. называется обыкновенным. Если от нескольких, то диф. ур. частных производных. 

Общий вид обыкновенного диф. ур. n-го порядка:

где, F – заданная функция связывающая независимую переменную x, независимую функцию  и её производные .

Порядок старшей производной входящей в диф. ур. называется порядком этого уравнения.

Пример:

  - об.диф.ур. первого порядка относительно неизвестной функции .

 - об.диф.ур. III порядка относительно неизвестной функции .

 – диф.ур. 2-го порядка относительно неизвестной функции

Общий вид обыкн.диф.ур. I-го порядка:

 

 

 

 

 Общим решением диф.ур.(1) 1-го порядка называется функция  (2). От   и произвольной постоянной , д.у. (1) в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде   называется общим интегралом.

Геометрическое общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от .

График решения  называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения д.у. называется интегрированием д.у.

Определение: Частным решением д.у. (1) называется решение полученное из общего решения (2) при фиксированном значении : .

Частный интеграл получается из уравнения (3) при фиксированном значении : .

Задача Коши: Найти решение диф.ур. (1) удовлетворяющее заданным начальным условиям  при .
35. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши(без док). Определение общего решения ДУ. Особое решение.

Теорема(Коши): (о существовании и единственности решения д.у.):

Пусть заданно д.у. . Если функция   и частная производная по  непрерывна в некоторой области   плоскости  содержащей точку , то найдется интервал  на котором существует единственное решение , д.у. (1), удовлетворяющее условию .

  – начальные условия.  - начальные числа.

Геометрически теорема означает, что через каждую внутреннюю точку  проходит единственная интегральная кривая. Т.о. вся область , где  и  - непрерывны, покрыта интегральными кривыми которые никогда не пересекаются.

Определение: Общее решение д.у.(1) называется функция , если

она является решением д.у.(1) при любом значении ;

каковы бы ни были начальные условия  можно найти единственное значение  такое, что   удовлетворяет (1).

Найти решение д.у. значит найти частное решение (интеграл) или общее решение (интеграл).

 )

Определение: Решением д.у. (1) называется особым решением если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через любую её точку проходит, кроме неё, ещё и другая касающаяся её интегральная кривая данного уравнения.

Пример:  уравнение Бернулли.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Проверим условие теоремы:  непрерывна на    непрерывна в

C:\Documents and Settings\Anton\Рабочий стол\matan\графики.JPG

  решение д.у. (особое решение)

     

 – огибающая семейства интегральных кривых.

 


Свойства степенных рядов