Курс высшей математики Типовой расчет

Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

Определение: Д.У. является уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представляет собой, или может быть представлена в виде произведения(или отношения) 2-х функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у, т.е.

 или   или  

Решение д.у. с разделяющими переменными осуществляется поэтапно:

1) Пусть исходное уравнение имеет вид 

 а) Представляем функцию  в виде произведения

 F(x,y)= и используя различные алгебраические приемы.

 b) Заменяем производную отношением .Уравнение примет вид

 c) Умножаем обе части уравнения на dx и, одновременно, делим на функцию . Получим . Переменные разделены.

 d) Интегрируем обе части полученного уравнения:

 

2) Если уравнение задано в неявной форме, то следует из него выразить y’ в явном виде и далее действовать как уже было сказано.

3) Если уравнение задано в форме , то

 а) переносим второе слагаемое в правую часть;

 b) каждую из двух функций представляем в виде произведения (или отношения) сомножителей.

 с) Делим обе части уравнения на произведение функции

  d) Общий интеграл находим интегрированием

 


Определение: Д.У.  называется однородным, если его правая часть есть однородная функция своих аргументов

Для преобразования однородного уравнения к виду, с которого начинается использование подстановки, необходимо:

1)выразить в явном виде производную искомой функции из любой исходной формы записи уравнения.

2)преобразовать функцию  к виду

3)Сделать замену , которая позволит разделить переменные в полученном уравнении.

К однородным могут относиться уравнения, в которых отношения  стоят под знаком какой-либо функции.

Определение: Д.У.  является линейным, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции .

  Другими словами: всякое уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются.

Для решения линейных уравнений используют два метода: метод Бернулли (подстановки) и метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

МЕТОД БЕРНУЛЛИ (метод подстановки):

Этот метод позволяет с помощью подстановки   сводить любое линейное уравнение к двум уравнениям с разделяющими переменными относительно функций  и

МЕТОД ЛАГРАНЖА (вариации произвольной постоянной):

Решение линейного уравнения  методом вариации состоит из двух  этапов:

находим общее решение однородного уравнения Получаем функцию , где С- произвольная постоянная.

Подставляем функцию  в исходное уравнение, находим функцию  и записываем общее решение исходного уравнения.


Определение: уравнение  является уравнением Бернулли, если правая часть уравнения имеет вид , где  – любое рациональное число, исключая случаи  и . При  уравнение является линейным, а при  – с разделяющимися переменными.

  Форма уравнения Бернулли: .

Замечание: Данное уравнение сводится к линейному следующим образом. Сначала делим уравнение на :

а затем делаем замену 

Уравнение примет вид  и далее решается как линейное, например методом подстановки

Однако, при решении конкретных примеров можно предварительно не сводить уравнение Бернулли к линейному, а сразу решать его как линейное.

Определение: Уравнение  является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Интегрирование уравнения в полных дифференциалах проводится следующим образом:

Проверяем выполнение условия 

Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой пока неизвестной функции , т.е .Тогда в соответствии с уравнением, , и поэтому общий интеграл уравнения в полных дифференциалах запишется в виде .

Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции.


Свойства степенных рядов