Курс высшей математики Типовой расчет

Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение.

Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка.

Уравнение n-го порядка может быть записано в явной форме, если оно разрешено относительно старшей производной, или в неявной  

Решение Д.У. n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.

Каждое уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений. Выбрать из этого множества конкретное решение можно, если задать n дополнительных условий, например начальных.

Начальными  условиями для уравнений n-го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении , , , …

Общим решением уравнения называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:

Функция содержит произвольные постоянные, количество которых равно порядку уравнения;

Эта функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных;

При заданных начальных условиях произвольные постоянные можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Если решение записано в неявном виде, то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Всякое решение, которое полученное из общего решения при конкретных значениях, называется частными решениями.

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Д.У. порядка выше первого (без.док.)

Если функция (n+1)-й переменной  в некоторой области (n+1)-мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные Ч.П. по переменным   , (), то для любой фиксированной точки  этой области   и при том единственное решение   уравнения .

Определенное на  и удовлетворяет начальным условиям , .

Д.У. 2-го порядка  c начальными условиями , . Через точку   проходят бесконечно много интегральных кривых, и задаем  и выбираем единственную интегральную кривую.


Понятие линейного ДУ n-го порядка (×)

Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение, в котором искомая функция y(x) и ее производная входят в первых степенях и не перемножаются. Общий вод такого уравнения

a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x), где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа.

Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид

ay’’+by’+cy=f(x).

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, или уравнением с правой частью.

40. Однородные линейные ДУ n-го порядка. Две теоремы о свойствах решений ОЛДУ (док.) (×)

a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x) где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа.

Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части.

Пусть a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=0  => у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 где Pn=an/ a0

1) Если у1(х) – частное решение ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 (2) , то функция  С *у1(х), где С=const, также является решением этого ЛОДУ.

Док-во: 

Су(n) + P1Сy(n-1) +…+ Pn-1 С y’ + Pn С y = 0

С(у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y ) = 0

у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0

2) Если у1(х) и у2(х) – решение ЛОДУ , то функции у1(х) + у2(х) также являются решениями этого ДУ

Док-во: 

(у1+у2)(n) + P1(у1+у2) (n-1) +…+ Pn-1 (у1+у2)’ + Pn (у1+у2) =

= [у1 (n) + P1 у1 (n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1] + [у2 (n) + P1 у2 (n-1) +…+ Pn-1 у2’ + Pn у2] = 0

3)Если у1(х) и у2(х)... уn(х) решение ЛОДУ, то их линейная комбинация С1 у1(х) + С 2у2(х)... Сn уn(х) – так же является решение этого уравнения.


Свойства степенных рядов