Курс высшей математики Типовой расчет

Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

df Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел а1,а2,а3,…аn,..

Выражение вида а1+а2+а3+…+аn+… называется числовым рядом

Обозн.а1+а2+а3+…+аn+…=(1) . При этом числа а1, а2, …, аn,…-члены ряда -общий член ряда (n-ый член ряда)

Построим последовательность S1=a1;S2=a1+a2;S3=a1+a2+a3;…;Sn=a1+a2+…+an;

df Числа S1,S2,…Sn-называются частичными суммами ряда (1).

df Если сущ-ет конечный предел посллед-ти частичных сумм, равный, то ряд (1) называется сходящимся. Если не  или =∞, то ряд (1) называется расходящимся.

48. Необходимый признак сходимости (с док.)

Если ряд  сх-ся, то .

Док-во: Т.к. ряд сх-ся, то , Sn=a1+a2+…+an;

Sn-1=a1+a2+…+an-1.

Поэтому Sn-Sn-1=an )= .

Следствие. (достаточный признак сх-ти ряда) Если условие

 не выполнено, т.е.  или не существует, то ряд  - расх-ся.


49. Три свойства (о линейной комбинации членов) сходящихся рядов (теоремы доказать)

Теорема2

Если ряд - сходящийся и его сумма равна S,то ряд (0) сходящийся и =S

Если ряд - расходится,то -расходится.

Док-во: Пусть  - сходящийся . ==

Пусть -расходится =-расходится.

Теорема3

Если ряды и  - сходится и их суммы соответственно равны и , то ряд  также сходится и =

Док-во: ==

Теорема 4

Если у сходящегося ряда  отбросить конечное число первых членов ,присоединить конечное число членов ряда или произвести перестановку членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда.

Опр-е: Для ряда выражение вида  называется остатком данного ряда после n-го слагаемого.

Если остаток ряда сходится,то =

Теорема 5 (Сходимость ряда сходимости его остатка)

Если ряд сходится,то и любой его остаток сходится.Если какой-то остаток ряда сходится,то сам ряд сходится,причем если:

, , ,то  

Док-во:

Пусть и -частичная сумма ряда и соответственно , ,тогда . Для произвольного фиксированного n.

(сходится к ) и  (сходится к )сущ-ют и несущ-ют одновременно.


Свойства степенных рядов