Курс высшей математики Типовой расчет

Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши(3 теоремы док.).

 Признак Даламбера.

 Пусть - ряд с неотрицательными членами.

 Если , то

а)   - ряд -сходится;

б)   - ряд - расходится;

в)  - о сходимости ничего нельзя сказать.

 3 Эталон: обобщенный гармонический ;

 Доказательство:

 По условию теоремы, , начиная с будет выполняться условие ;

а) Пусть начиная с :

 

 

члены исследуемого ряда меньше членов геометрической прогрессии ; Геометрическая прогрессия сходится.

б) ; пусть для  

ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

 Дан ряд ,если , то при

 а)   - ряд -сходится;

 б)   - ряд - расходится;

 в)  - о сходимости ничего нельзя сказать, предполагается что предел  

 Доказательство:

По условию теоремы, , начиная с  будет выполняться условие  

а) - убывающая геометрическая прогрессия Þ по признаку сравнения - сходится, начиная с .

б) аналогично предыдущему.

Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд , члены этого ряда являются непрерывной функцией

g(x) при целых х и пусть функция g(x) является убывающей на промежутке*,

тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ,

 и расходится, если расходится ;

Доказательство:

 Рассмотрим площадь криволинейной трапеции

y(x) 

  с другой стороны 


 1234……n-1 n

Пусть из (*) следует - ограничена

 по критерию ряд сходится.

Пусть не существует  или =  следовательно из (**)следует - неограниченна, следовательно по критерию ряд сходится.


Свойства степенных рядов