Курс высшей математики Типовой расчет

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док).

Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда.

 -знакопеременный ряд.(1)

 -знакоположительный ряд.(2)

Теорема (критерий сходимости знакопеременного ряда).

 Если ряд (2) сходится, то и ряд (1)- сходится.

Доказательство:

  частичные суммы рядов (1) (2) соответственно.

Обозначив через - сумму положительных членов ряда (1), - сумму отрицательных членов ряда(1).Тогда =-=-

Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел его частичных сумм =-ограничены.

Так как ряд (2) знакоположительный, то - будут возрастающие, следовательно по теореме Вейерштрасса существует конечный предел этих последовательностей ()

Рассмотрим - число конечное, следовательно (1)- сходится. Ч.Т.Д.

При исследовании знакопеременного ряда на сходимость нужно всегда рассматривать ряд из абсолютных величин членов этого ряда.

Определение:

Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится знакоположительный ряд ,составленный из абсолютных значений его членов.

  Теорема (об абсолютно сходящемся ряде).

 Если ряд  сходится, то знакопеременный ряд  тоже сходится.

 Доказательство: 

  для ряда ;  для ряда состав. из модулей.

сходится по признаку сравнения.

Признак этой теоремы является достаточным, но не является необходимым.

Ряд -сходится;  ряд - расходится.

Определение:

Знакопеременный  ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин его членов расходится.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).

Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.

 Теорема Лейбница.

 Если =0 (1) и un un+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд

  (3) сходится.

Доказательство:

 Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):

S2k=. Их можно записать в виде S2k=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2k-1-u2k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S2kS2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S2k можно записать также и в виде S2k=u1-(u2-u3)-…-(u2k-2-u2k-1)-u2k, k=1,2,… , и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u2k>0, получаем, что S2k<u­1, т.е. последовательность {S2k} ограничена сверху.

Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S2k} следует, что она сходится.

Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S2k+1=S2k+u2k+1, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем   (6). Из (4) и (6) следует что .

Теорема доказана.


Свойства степенных рядов