Курс высшей математики Типовой расчет

Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).

Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x).

Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Функциональный ряд un(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное число N(), что при n>N выполняется неравенство=<  для всех x из области X.

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.

Достаточным признаком равномерности сходимости является

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, (an>0) т.е.

 |U1(x)|a1, |U2(x)|a2, |U3(x)|a3, … |Un(x)|an, …

То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).

Знакоположительный числовой ряд  называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.

Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn(1), (2) для всех n=1,2… и всех х, то последовательность {} равномерно на E сходится к функции .

Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что an< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х, а это и означает равномерную сходимость последовательности {} к функции   на множестве Е.


57. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)

1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.

Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.

2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =()'= S'(x)

3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования  равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда

S**(x)= ==


58.Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)

 

Функциональные ряды вида  называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2... an  R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.

При z0=0 получим  .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться. 

Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z2≠0, то он расходится в т z, .

Доказательство.

По условию - то по необходимому признаку сходимости ряда , т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то существует M>0 |  а n=0,1,2… Если , то  и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при .

Пусть числовой ряд расходится, => для любого z | . Предположим противное, те  сходится. По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.


Свойства степенных рядов