Курс высшей математики Типовой расчет

Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (док).

 Теорема: Если степенной ряд по степеням  сходящийся к функции  в окружности т. , то он является рядом Тейлора функции   в окружности т. .

Док-во: Пусть в окружности т.  степенной ряд по степеням  сходящийся к ∞-ой дифференцируемой функции  т.е  

продифференцируем степенной ряд:

при  получаем:

Ч.т.д.


Ряды Фурье. Ортогональная система функций. Тригонометрический ряд Фурье

Рядом Фурье для периодической с периодом T=2π функции y=f(x), определённой на интервале [-π;π], называется тригонометрический ряд:

Коэффициенты , ,  находятся по формулам Фурье:

   


Нахождение коэффициентов для триг - го ряда Фурье (теорему док).

Теорема: Если функция  определена и непрерывна на  и разлагается в тригонометрический ряд (*), который можно почленно интегрировать, то это разложение единственное.

Доказательство:

 Умножим обе части (*) на , проинтегрируем на   . Аналогично умножим (*) на  и проинтегрируем. .

Умножим (*) на  и проинтегрируем на    Коэффициенты равенства (*) определяются единственным образом  такое разложение единственное , , ,  Ч.т.д.

 

 

63. Теорема Дирихле(без док.)

 Пусть ограниченная функция удовлетворяет на условиям:

интервал можно разбить на конечное число интервалов, в которых функция – непрерывная и монотонная.

если xo т. разрыва функции , то  пределы ,  . Т.е точка x0 – т.разрыва 1 рода.

Тогда ряд Фурье функции  сходится и имеет место равенство 

Замечание. Если представить функцию,  периодически продолженную на всю ось Ox c периодом , то утверждение теоремы будет справедливо .


64. Тригонометрический ряд Фурье на произвольном интервале (-l,l).

 Пусть f(x) периодическая с периодом , .. Разложим функцию в ряд Фурье. Для этого сделаем замену . Тогда f() – периодическая функция от переменной t с периодом 2, её можно разложить на x.

, где , , ,   , , тогда

, ,

  .


Свойства степенных рядов