Курс высшей математики Типовой расчет

Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x   (при x  ), если для любого положительного числа K существует число x0, такое, что для всех x > x0 выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Функция F(x) называется бесконечно большой при x  x0 (при x  x0–0 или
x  x0+0 ), если для любого K > 0 существует  > 0 такое, что для любого
x(x0 – , x0 + ), (x(x0 – , x0) или x(x0, x0 + ) соответственно) выполняется неравенство |F(x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при
x  a, а потому F (x) не существует.

Если F (x) – б.б. функция при x  a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: F (x) = . Если при этом F (x) > 0, то пишут: F (x) = ; если же F(x) < 0, то пишут: F (x) = .

Пример 1. F1(x) = x2 является б.б. при x   и x  , причем F1(x) > 0, поэтому можно записать:x2 =  , x2 =  .

Пример 2. F2(x) =  является б.б. при x  0, причем

F2(x) = , а F2(x) =  .

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x  a, то функция  – б.м. при x  a.

Доказательство. Пусть F(x) – б.б. при x  x0–0, покажем, что  – б.м. при
x  x0–0. Зафиксируем произвольное  > 0 и покажем, что найдется  > 0 такое, что для всех x(x0 – , x0) выполняется неравенство: || < .

По определению функции б.б. при x x0–0 для числа K =   найдется такое  > 0, что x(x0–, x0) будет выполняться неравенство: |F(x)| > , откуда  <  для
x(x0 – , x0), т.е.  – б.м. при x  x0 –0.

Теорема 2. Если (x) – б.м. при x  a и (x)  0, то  – б.б. при x  a.

Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.

Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций.

Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x  a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x  a.

Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при xa, причем F1(x) > 0 и
F2(x) > 0 (т.е. F1(x)=+, F2 (x) = + ), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x  a.

Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x  a и число C  0, то CF(x) – б.б. при x  a.

Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x  a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x a, как иметь предел при x  a, так и не иметь его.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла