Курс высшей математики Типовой расчет

Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.

Теорема.  = 1 (первый замечательный предел).

Доказательство

1) Пусть  – положительный острый угол, докажем = 1. Предварительно докажем, что sin = 0 и cos = 1.

Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R, АВ = Rsin. Так как |AB| < ||, то 0 < sin < . Если 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sin = 0. Докажем, что cos = 1. Так как cos = 1 – 2sin2, то на основании теорем о пределах получим:

cos = (1 – 2sin2) = 1 – 20 = 1.

Вычислим теперь .

Из рис. 1.12 видим, что

SOAC < SсекторOAC < SODC. (*)

SOAC = R2sin, SсекторOAC = R2, SODC = R2tg.

Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:

R2sin < R2 < R2tg. (**)

Деля все части неравенства (**) на положительное число R2sin, получим:

1 <  <  или 1 >  > cos (***)

Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при 0 получим:

 = 1 (ведь cos = 1).

2) Пусть x < 0, x = –, тогда  > 0, ===1.

Итак, доказано, что  = 1, , а потому .

С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.


Задачи приводящие к понятию определенного интеграла