Неопределённый интеграл

Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. .

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Простейшие правила интегрирования

Замена переменной в неопределённом интеграле ( интегрирование подстановкой).

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные.

Интегралы , где  - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x)

Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен .

Интегралы вида  () с помощью той же операции ( выделение полного квадрата) приводятся к одному из табличных интегралов

Интегралы вида  () берутся с применением той же техники

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простых дробей. Определение рациональных функций и простых дробей: Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов

Примеры

Интегрирование функций, рационально зависящих от .

Частные тригонометрические подстановки

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x.

Тригонометрические подстановки для интегралов вида .

Сопромат, механика, информатика. Теория, практика, задачи Математика, физика