Примеры решения задач типового расчета

Изменить порядок интегрирования.

 

Решение:

первый интеграл – есть двойной интеграл от функции f по некоторой области D1 . Согласно (1) область D1 записывается в виде . Второй интеграл – есть двойной интеграл от функции f по области D2, которая согласно (1) записывается в виде . В прямоугольной системе координат построим области ( рис. 1).

Рис. 1

 

 

 

 

 


*здесь в скобках приведен номер задачи из сборника заданий по высшей математике Л.А. Кузнецова[4].

Таким образом,

 

 

 

Так как повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (1), то двойной интеграл справа, должен быть записан в виде повторного, по формуле (2). Для этого область D запишем в виде . Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку кривая  ограничивает область D слева и уравнение этой линии у=х, то . Кривая  ограничивает область D справа, и уравнение этой кривой . Выразив х, через у, получим  ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна правая часть окружности), т.е.  . Следовательно,  . Применяя формулу (2), получим:

 

 

 

(1.29). изменить порядок интегрирования.

 

 

Решение:

Согласно (2) области Dи Dзаписываются  в виде . В прямоугольной системе координат построим области ( рис. 2).

 

Рис. 2.

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

поскольку повторные интегралы в левой части полученного равенства записаны по формуле (2), то двойной интеграл справа должен быть записан по формуле (1). Для этого нужно записать D в виде . Очевидно, что а=0, b=1. Поскольку кривая  ограничивает область D снизу и уравнение этой кривой   , то выразив у через х, получаем у=х2 , т.е.  . Так как кривая ограничивает D сверху и уравнение этой кривой  , то выразив у через х, получим  ( знак «+» перед корнем выбран потому, что нам нужна верхняя часть окружности), т.е.  . Следовательно,  . Применяя формулу (1) получим:

 


На главную