Лекции по электротехнике Линейные цепи постоянного тока Источник ЭДС и источник тока Неразветвленная цепь синусоидального тока Электрические цепи с взаимной индуктивностью Однофазный асинхронный двигатель

Цепи синусоидального тока

Общие сведения

 Причин отличия кривых токов и напряжений от синусоидальной формы несколько. Во-первых, в генераторах переменного тока кривая распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора из-за конструктивного несовершенства машин может отличаться от синусоиды. Это приводит к возникновению в обмотках несинусоидальной ЭДС. Отличие формы кривой ЭДС от синусоидальной нежелательное, и его стремятся уменьшить. Во-вторых, появление в цепи несинусоидальных токов и напряжений может быть связано с включением в цепь различных нелинейных элементов – нелинейных катушек, конденсаторов, выпрямителей и др. В-третьих, во многих электротехнических и радиотехнических устройствах используют источники сигналов – импульсов, у которых выходные напряжения и токи несинусоидальные. Форма импульсов может быть самой различной: пилообразной, прямоугольной и др. Наконец, применение в электротехнических устройствах источников синусоидальных ЭДС разной частоты вызывает появление несинусоидальных напряжений и токов.

 Для примера рассмотрим пассивный двухполюсник с линейными параметрами (рис. 5.1 а), на входе которого включены два источника ЭДС разной частоты

.

 Напряжение на входе двухполюсника равно сумме этих ЭДС:

.

Легко убедиться в том (рис. 5.1 б), что это напряжение будет несинусоидальным. Очевидно, ток  на входе двухполюсника также будет несинусоидальным. Применим для расчета этой цепи принцип наложения, по которому результирующий ток определяется как сумма частичных токов, возникающих под действием каждой ЭДС в отдельности. Если в цепи действуют источники несинусоидальных ЭДС, то их необходимо разложить на гармонические составляющие. Расчет отдельных гармонических составляющих выполняется известными методами расчета электрических цепей синусоидального тока.

  5.2. Разложение несинусоидальных функций в тригонометрический
ряд Фурье

  Из математики известно, что всякая периодическая несинусоидальная функция , удовлетворяющая условию Дирихле (имеющая за период конечное число максимумов и конечное число разрывов первого рода), может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

,  (5.1)

где – постоянная составляющая (нулевая гармоника,  = 0);  – первая (основная) гармоника, период которой равен периоду исходной несинусоидальной функции (все остальные слагаемые называют высшими гармониками);  – порядковый номер гармоники;  – амплитуды соответствующих гармоник;  – начальные фазы гармоник;   – основная частота;  – период несинусоидальной периодической функции.

Коэффициенты ряда (5.1) определяются по формулам Эйлера. Постоянная составляющая  определяется как среднее значение несинусоидальной функции за период

. (5.2)

Составляющие амплитуд гармоник

; (5.3)

.  (5.4)

Амплитуды и начальные фазы гармоник ряда (5.1)

  (5.5)

 Формулы (5.2...5.5) позволяют представить несинусоидальную функцию в случае ее аналитического задания в виде ряда Фурье.

 Совокупность амплитуд, частот, начальных фаз гармоник определяет спектральный состав исследуемой функции.

 Гармоники, для которых  – число нечетное, называются нечетными, если  – число четное, то гармоники называются четными.

Действующее и среднее по модулю значения несинусоидального
тока и напряжения

 Действующее значение несинусоидального тока (напряжения) определяют как среднеквадратичное значение тока за период. Допустим, что задан ряд тока

.

 Согласно определению действующее значение тока вычислим по формуле

. (5.6)

 Таким образом, действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из действующих значений всех гармоник, включая постоянную составляющую. Оно не зависит от начальных фаз отдельных гармоник.

 Пример 5.1. Найти действующее значение тока, если его мгновенное значение задано рядом

, А;

 А.

 Периодическая несинусоидальная функция  может быть представлена средним по модулю значением

. (5.7)

  Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции за период. В отличие от действующего значения оно зависит от .

 Пример 5.2. Определить среднее значение по модулю несинусоидального тока

  После интегрирования (5.7) получим

  5.4. Мощности цепи несинусоидального тока

 Под активной мощностью несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности за период  первой гармоники

 После подстановки и интегрирования, получаем

.  (5.8)

 Из (5.8) следует, что активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

 По аналогии можно получить формулу реактивной мощности

. (5.9)

 Реактивная мощность несинусоидального тока равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных гармоник.

 Полная мощность определяется произведением действующих значений несинусоидального тока и напряжения

,  (5.10)

где ; .


Параллельная работа синхронного генератора с сетью